专升本高等数学冷门知识点之定积分的性质

　　云南专升本高等数学考试每年会有2-3题考查比较偏门的知识点。为了同学们能考150分，今天在这里给大家总结一下可能会考查的一些冷门知识点——定积分的性质，定积分的性质是我们计算某些特殊定积分非常重要的工具，但是在云南专升本高等数学的考试里，体现的并不是十分明显。近五年的时间里，2016年考查了一道多选题，2019年考查了一道判断题，考查的都是定积分性质里直接记忆的内容。
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　　基本性质
　　 性质1-5是定积分基础的性质，常见于定积分的计算过程中，一般不会单独进行考查，请同学们直接背诵记忆即可。
　　 性质6的考查形式主要是结合不等式的证明，比较两个定积分的大小。这类题先积分再比较的话，难度可能比较大，甚至出现无法积分的情况，或者积分出来的结果的大小关系不好判断。所以同学们在做题过程中遇到比较两个定积分的大小的时候，我们可以比较所给区间上两个函数的大小。
　　 性质7主要是用来估算某些在初等函数领域无法进行计算的定积分的取值范围。这个性质如果进行命题，一般是判断题或者是单项选择题。解这类题时，同学们需要先求被积函数在上下限所形成区间内的大值和小值，而极值的求法是我们第二章一元函数微分学里一阶导应用的重点。
　　 性质8是积分中值定理，中值定理一般是以证明题的形式进行考察。但云南专升本高等数学是以客观题形式进行考察，所以同学们以上面所举例题进行把握。

　　2
　　特殊性质
　　 性质1是奇偶性在定积分里的应用，是我们非常重要的考点。在做题的过程中，如果我们看到积分区间关于原点对称，则优先考虑被积函数是否具备奇偶性。但是这条性质应该注意以下两个问题：（1）这是充分条件而不是必要条件，也就是说如果定积分的结果为0，不能推出被积函数为奇函数的结论。（2）被积函数必须是连续函数，换言之，存在瑕点的反常积分，不能使用该性质。而瑕积分使用“偶倍奇零”性质是专升本高等数学考试非常容易出现的迷惑选项或者是判断题。
　　 性质2可以从两个角度来进行理解，一是定积分的几何意义，这是一个以原点为圆心，半径为a的圆在一、象限的面积；二是从三角换元，感兴趣的同学可以尝试自己推一下，并且这条性质常常和性质1的“偶倍”结合在一起考察。
　　 性质3是关于华里氏公式的，这个公式可以在判断题里直接考察结论，也可以在定积分计算的后一个步骤进行考察。
　　 性质4要求同学们直接背诵记忆即可。利用性质4，可以把某些定积分进行转化，然后使用华里氏公式进行计算。
　　 性质5是关于原函数和被积函数奇偶性的关系，也是特殊性质里再次进行考察概率比较大的一条性质。另外，同学们可以把这条性质和导函数的奇偶性结合在一起进行记忆。
　　 性质6是关于周期性的，大家也有必要看一下。
　　 定积分的这些性质，主要是针对我们学有余力的同学，基础比较薄弱的同学还是以主干知识为主。希望这些知识对同学们有所帮助。