常考中考数学题型解析

　　利用相似三角形的性质求解满足条件的等腰三角形是数学中考的常考题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初三学生的数学学习带来帮助。下面我们一起来看一看吧。
　　例题
　　如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=3√10，P是边AD的中点，点E在边BC上，CE=2BE，点M，N在线段BD上，若△PMN是等腰三角形，且底角与∠DEC相等，求MN的长度。
　　解题过程：
　　根据矩形的性质和题目中的条件：四边形ABCD为矩形，则AB=CD，AD=BC，AD∥BC，∠A=90°；
　　根据题目中的条件和结论：AD=3AB=3√10，AB=CD，AD=BC，则BC=3√10，AB=CD=√10；
　　根据勾股定理和结论：BC=3√10，CD=√10，BD^=BC^2 CD^2，则BD=10；
　　根据题目中的条件和结论：CE=2BE，BC=BE CE，BC=3√10，则BE=√10，CE=2√10；
　　根据题目中的条件和结论：P是边AD的中点，AD=3√10，则PD=AP=3√10/2；
　　（1）PM=PN
　　过点P作PQ⊥MN于点Q
　　根据题目中的条件：PM=PN，△PMN的底角与∠DEC相等，则∠PMN=∠PNM=∠DEC；
　　根据平行线性质和结论：AD∥BC，则∠PDN=∠CBD；
　　根据结论：∠PNM=∠DEC，则∠PND=∠DEB；
　　根据相似三角形的判定和结论：∠PND=∠DEB，∠PDN=∠CBD，则△PND∽△DEB；
　　根据相似三角形性质和结论：△PND∽△DEB，则PD/DN=BD/BE；
　　根据结论：PD/DN=BD/BE，PD=3√10/2，BD=10，BE=√10，则DN=3/2；
　　根据三线合一性质和题目中的条件：PM=PN，PQ⊥MN，则QN=QM=MN/2；
　　根据题目中的条件：PQ⊥MN，则∠PQD=90°；
　　根据相似三角形的判定和结论：∠PQD=∠A，∠PDQ=∠PDQ，则△PDQ∽△BDA；
　　根据相似三角形性质和结论：△PDQ∽△BDA，则DQ/AD=PD/BD；
　　根据结论：DQ/AD=PD/BD，AD=3√10，PD=3√10/2，BD=10，则DQ=9/2；
　　根据结论：DQ=9/2，DN=3/2，则QN=DQ-DN=3；
　　根据结论：QN=QM=MN/2，QN=3，则MN=2QN=6；

　　（2）PM=MN
　　过点P作PQ⊥BD于点Q
　　根据相似三角形性质和结论：△PDQ∽△BDA，则PQ/AB=PD/BD；
　　根据结论：PQ/AB=PD/BD，AB=√10，PD=3√10/2，BD=10，则PQ=3/2；
　　根据结论：DQ=9/2，DN=3/2，则MQ=DQ-DN-MN=3-MN；
　　根据勾股定理和结论：MQ=3-MN，PQ=3/2，PM=MN，PM^2=PQ^2 MQ^2，则MN=15/8；
　　所以，MN的值为6或15/8。
　　结语
　　解决本题的关键是利用条件给出的角度关系得到一组相似三角形，根据对应边成比例的性质得到相关线段的长度，再合理添加辅助线构造出直角三角形，同时又得到一组相似三角形，利用勾股定理和相似性质，就可求得题目需要的值。